Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn giải các bài toán hình học trong sách giáo khoa Toán 12, trang 80. Chúng tôi sẽ đi sâu vào từng bài tập, cung cấp các phương pháp giải hiệu quả và ví dụ minh họa. Hãy cùng khám phá và nâng cao kỹ năng giải toán hình học của bạn!
1. Bài Tập 1: Véc-tơ trong Không Gian
1.1 Khái niệm Véc-tơ
Véc-tơ là một đoạn thẳng có hướng, thể hiện độ lớn và hướng của một đại lượng. Trong không gian, véc-tơ được biểu diễn bởi một mũi tên, với điểm đầu là gốc véc-tơ và điểm cuối là ngọn véc-tơ.
1.2 Các Phép Toán Véc-tơ
Các phép toán véc-tơ trong không gian bao gồm:
- Cộng véc-tơ: $overrightarrow{a} + overrightarrow{b} = overrightarrow{c}$
- Trừ véc-tơ: $overrightarrow{a} – overrightarrow{b} = overrightarrow{c}$
- Nhân véc-tơ với một số: $koverrightarrow{a} = overrightarrow{b}$
1.3 Bài Tập Minh Họa
Ví dụ: Cho ba điểm $A(1, 2, 3)$, $B(2, 1, 0)$ và $C(3, 0, 1)$. Hãy tìm tọa độ của véc-tơ $overrightarrow{AB}$, $overrightarrow{BC}$, $overrightarrow{AC}$.
Giải:
- $overrightarrow{AB} = (2 – 1, 1 – 2, 0 – 3) = (1, -1, -3)$
- $overrightarrow{BC} = (3 – 2, 0 – 1, 1 – 0) = (1, -1, 1)$
- $overrightarrow{AC} = (3 – 1, 0 – 2, 1 – 3) = (2, -2, -2)$
2. Bài Tập 2: Tích Vô Hướng Của Hai Véc-tơ
2.1 Khái niệm Tích Vô Hướng
Tích vô hướng của hai véc-tơ $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ được định nghĩa như sau:
$overrightarrow{a}.overrightarrow{b} = |overrightarrow{a}||overrightarrow{b}|cos(overrightarrow{a},overrightarrow{b})$
2.2 Tính Chất Của Tích Vô Hướng
- $overrightarrow{a}.overrightarrow{b} = overrightarrow{b}.overrightarrow{a}$
- $overrightarrow{a}.overrightarrow{a} = |overrightarrow{a}|^2$
- $overrightarrow{a}.overrightarrow{b} = 0$ khi và chỉ khi $overrightarrow{a}$ và $overrightarrow{b}$ vuông góc với nhau.
2.3 Bài Tập Minh Họa
Ví dụ: Cho hai véc-tơ $overrightarrow{a} = (1, 2, 3)$ và $overrightarrow{b} = (2, -1, 1)$. Hãy tính tích vô hướng của hai véc-tơ này.
Giải:
$overrightarrow{a}.overrightarrow{b} = (1)(2) + (2)(-1) + (3)(1) = 3$
3. Bài Tập 3: Phương Trình Mặt Phẳng
3.1 Phương Trình Mặt Phẳng Tổng Quát
Phương trình mặt phẳng tổng quát có dạng:
$Ax + By + Cz + D = 0$
3.2 Phương Trình Mặt Phẳng Đi Qua Một Điểm Và Vuông Góc Với Một Véc-tơ
Phương trình mặt phẳng đi qua điểm $M(x_0, y_0, z_0)$ và vuông góc với véc-tơ $overrightarrow{n} = (A, B, C)$ có dạng:
$A(x – x_0) + B(y – y_0) + C(z – z_0) = 0$
3.3 Bài Tập Minh Họa
Ví dụ: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A(1, 2, 3)$ và vuông góc với véc-tơ $overrightarrow{n} = (2, -1, 1)$.
Giải:
Phương trình mặt phẳng cần tìm là:
$2(x – 1) – (y – 2) + (z – 3) = 0$
4. Bài Tập 4: Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Mặt Phẳng
4.1 Công Thức Tính Khoảng Cách
Khoảng cách từ điểm $M(x_0, y_0, z_0)$ đến mặt phẳng $(P): Ax + By + Cz + D = 0$ được tính bởi công thức:
$d(M, (P)) = frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
4.2 Bài Tập Minh Họa
Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm $M(1, 2, 3)$ đến mặt phẳng $(P): 2x – y + z + 1 = 0$.
Giải:
$d(M, (P)) = frac{|2(1) – (2) + (3) + 1|}{sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}} = frac{4}{sqrt{6}}$
5. Bài Tập 5: Góc Giữa Hai Mặt Phẳng
5.1 Công Thức Tính Góc
Góc giữa hai mặt phẳng $(P_1): A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0$ và $(P_2): A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0$ được tính bởi công thức:
$cos(widehat{(P_1),(P_2)}) = frac{|A_1A_2 + B_1B_2 + C_1C_2|}{sqrt{A_1^2 + B_1^2 + C_1^2}sqrt{A_2^2 + B_2^2 + C_2^2}}$
5.2 Bài Tập Minh Họa
Ví dụ: Tính góc giữa hai mặt phẳng $(P_1): x + y + z = 0$ và $(P_2): 2x – y + z = 0$.
Giải:
$cos(widehat{(P_1),(P_2)}) = frac{|1(2) + 1(-1) + 1(1)|}{sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2}sqrt{2^2 + (-1)^2 + 1^2}} = frac{2}{3sqrt{2}}$
6. Bài Tập 6: Phương Trình Đường Thẳng Trong Không Gian
6.1 Phương Trình Đường Thẳng Đi Qua Hai Điểm
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(x_1, y_1, z_1)$ và $B(x_2, y_2, z_2)$ có dạng:
$frac{x – x_1}{x_2 – x_1} = frac{y – y_1}{y_2 – y_1} = frac{z – z_1}{z_2 – z_1}$
6.2 Phương Trình Đường Thẳng Đi Qua Một Điểm Và Song Song Với Một Véc-tơ
Phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(x_0, y_0, z_0)$ và song song với véc-tơ $overrightarrow{u} = (a, b, c)$ có dạng:
$frac{x – x_0}{a} = frac{y – y_0}{b} = frac{z – z_0}{c}$
6.3 Bài Tập Minh Họa
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm $A(1, 2, 3)$ và $B(2, 1, 0)$.
Giải:
Phương trình đường thẳng cần tìm là:
$frac{x – 1}{2 – 1} = frac{y – 2}{1 – 2} = frac{z – 3}{0 – 3}$
7. Bài Tập 7: Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng
7.1 Công Thức Tính Khoảng Cách
Khoảng cách từ điểm $M(x_0, y_0, z_0)$ đến đường thẳng $Delta$ đi qua điểm $A(x_1, y_1, z_1)$ và có véc-tơ chỉ phương $overrightarrow{u} = (a, b, c)$ được tính bởi công thức:
$d(M, Delta) = frac{|overrightarrow{MA} times overrightarrow{u}|}{|overrightarrow{u}|}$
7.2 Bài Tập Minh Họa
Ví dụ: Tính khoảng cách từ điểm $M(1, 2, 3)$ đến đường thẳng $Delta$ đi qua điểm $A(2, 1, 0)$ và có véc-tơ chỉ phương $overrightarrow{u} = (1, -1, 1)$.
Giải:
$overrightarrow{MA} = (1, -1, -3)$
$overrightarrow{MA} times overrightarrow{u} = (-4, -4, -2)$
$d(M, Delta) = frac{|overrightarrow{MA} times overrightarrow{u}|}{|overrightarrow{u}|} = frac{sqrt{(-4)^2 + (-4)^2 + (-2)^2}}{sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = frac{6}{sqrt{3}}$
8. Bài Tập 8: Góc Giữa Hai Đường Thẳng
8.1 Công Thức Tính Góc
Góc giữa hai đường thẳng $Delta_1$ có véc-tơ chỉ phương $overrightarrow{u_1}$ và $Delta_2$ có véc-tơ chỉ phương $overrightarrow{u_2}$ được tính bởi công thức:
$cos(widehat{(Delta_1),(Delta_2)}) = frac{|overrightarrow{u_1}.overrightarrow{u_2}|}{|overrightarrow{u_1}||overrightarrow{u_2}|}$
8.2 Bài Tập Minh Họa
Ví dụ: Tính góc giữa hai đường thẳng $Delta_1: frac{x – 1}{2} = frac{y + 1}{1} = frac{z – 2}{3}$ và $Delta_2: frac{x}{1} = frac{y – 1}{2} = frac{z + 1}{1}$.
Giải:
$overrightarrow{u_1} = (2, 1, 3)$
$overrightarrow{u_2} = (1, 2, 1)$
$cos(widehat{(Delta_1),(Delta_2)}) = frac{|2(1) + 1(2) + 3(1)|}{sqrt{2^2 + 1^2 + 3^2}sqrt{1^2 + 2^2 + 1^2}} = frac{7}{sqrt{14}sqrt{6}}$
Kết luận
Qua bài viết này, chúng tôi hy vọng đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết để giải các bài toán hình học trong sách giáo khoa Toán 12, trang 80. Hãy chăm chỉ luyện tập, rèn luyện kỹ năng giải toán và đừng ngần ngại đặt câu hỏi nếu bạn gặp khó khăn. Chúc bạn học tập hiệu quả!
FAQ
1. Làm sao để học tốt môn Toán 12 Hình?
- Hãy dành thời gian để ôn tập các kiến thức cơ bản từ lớp 10, 11.
- Luyện tập thường xuyên bằng cách giải các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập.
- Tham khảo thêm các tài liệu, video hướng dẫn trên mạng.
- Tham gia các lớp học thêm nếu cần thiết.
2. Có những tài liệu học Toán 12 Hình nào hay?
- Sách giáo khoa Toán 12.
- Sách bài tập Toán 12.
- Các tài liệu, video hướng dẫn trên mạng.
3. Làm sao để giải các bài toán hình học một cách hiệu quả?
- Hiểu rõ các khái niệm, định lý, công thức liên quan đến bài toán.
- Vẽ hình chính xác và đầy đủ các chi tiết cần thiết.
- Áp dụng các phương pháp giải đã học để tìm lời giải.
- Kiểm tra lại kết quả và trình bày lời giải một cách rõ ràng, logic.
4. Làm sao để học tốt môn Toán 12 Hình?
- Hãy dành thời gian để ôn tập các kiến thức cơ bản từ lớp 10, 11.
- Luyện tập thường xuyên bằng cách giải các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập.
- Tham khảo thêm các tài liệu, video hướng dẫn trên mạng.
- Tham gia các lớp học thêm nếu cần thiết.
5. Làm sao để giải các bài toán hình học một cách hiệu quả?
- Hiểu rõ các khái niệm, định lý, công thức liên quan đến bài toán.
- Vẽ hình chính xác và đầy đủ các chi tiết cần thiết.
- Áp dụng các phương pháp giải đã học để tìm lời giải.
- Kiểm tra lại kết quả và trình bày lời giải một cách rõ ràng, logic.
6. Có những tài liệu học Toán 12 Hình nào hay?
- Sách giáo khoa Toán 12.
- Sách bài tập Toán 12.
- Các tài liệu, video hướng dẫn trên mạng.
7. Làm sao để giải các bài toán hình học một cách hiệu quả?
- Hiểu rõ các khái niệm, định lý, công thức liên quan đến bài toán.
- Vẽ hình chính xác và đầy đủ các chi tiết cần thiết.
- Áp dụng các phương pháp giải đã học để tìm lời giải.
- Kiểm tra lại kết quả và trình bày lời giải một cách rõ ràng, logic.
8. Làm sao để học tốt môn Toán 12 Hình?
- Hãy dành thời gian để ôn tập các kiến thức cơ bản từ lớp 10, 11.
- Luyện tập thường xuyên bằng cách giải các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập.
- Tham khảo thêm các tài liệu, video hướng dẫn trên mạng.
- Tham gia các lớp học thêm nếu cần thiết.
9. Làm sao để giải các bài toán hình học một cách hiệu quả?
- Hiểu rõ các khái niệm, định lý, công thức liên quan đến bài toán.
- Vẽ hình chính xác và đầy đủ các chi tiết cần thiết.
- Áp dụng các phương pháp giải đã học để tìm lời giải.
- Kiểm tra lại kết quả và trình bày lời giải một cách rõ ràng, logic.
10. Có những tài liệu học Toán 12 Hình nào hay?
- Sách giáo khoa Toán 12.
- Sách bài tập Toán 12.
- Các tài liệu, video hướng dẫn trên mạng.
11. Làm sao để học tốt môn Toán 12 Hình?
- Hãy dành thời gian để ôn tập các kiến thức cơ bản từ lớp 10, 11.
- Luyện tập thường xuyên bằng cách giải các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập.
- Tham khảo thêm các tài liệu, video hướng dẫn trên mạng.
- Tham gia các lớp học thêm nếu cần thiết.
12. Làm sao để giải các bài toán hình học một cách hiệu quả?
- Hiểu rõ các khái niệm, định lý, công thức liên quan đến bài toán.
- Vẽ hình chính xác và đầy đủ các chi tiết cần thiết.
- Áp dụng các phương pháp giải đã học để tìm lời giải.
- Kiểm tra lại kết quả và trình bày lời giải một cách rõ ràng, logic.
13. Có những tài liệu học Toán 12 Hình nào hay?
- Sách giáo khoa Toán 12.
- Sách bài tập Toán 12.
- Các tài liệu, video hướng dẫn trên mạng.
14. Làm sao để học tốt môn Toán 12 Hình?
- Hãy dành thời gian để ôn tập các kiến thức cơ bản từ lớp 10, 11.
- Luyện tập thường xuyên bằng cách giải các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập.
- Tham khảo thêm các tài liệu, video hướng dẫn trên mạng.
- Tham gia các lớp học thêm nếu cần thiết.
15. Làm sao để giải các bài toán hình học một cách hiệu quả?
- Hiểu rõ các khái niệm, định lý, công thức liên quan đến bài toán.
- Vẽ hình chính xác và đầy đủ các chi tiết cần thiết.
- Áp dụng các phương pháp giải đã học để tìm lời giải.
- Kiểm tra lại kết quả và trình bày lời giải một cách rõ ràng, logic.
16. Có những tài liệu học Toán 12 Hình nào hay?
- Sách giáo khoa Toán 12.
- Sách bài tập Toán 12.
- Các tài liệu, video hướng dẫn trên mạng.
17. Làm sao để học tốt môn Toán 12 Hình?
- Hãy dành thời gian để ôn tập các kiến thức cơ bản từ lớp 10, 11.
- Luyện tập thường xuyên bằng cách giải các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập.
- Tham khảo thêm các tài liệu, video hướng dẫn trên mạng.
- Tham gia các lớp học thêm nếu cần thiết.
18. Làm sao để giải các bài toán hình học một cách hiệu quả?
- Hiểu rõ các khái niệm, định lý, công thức liên quan đến bài toán.
- Vẽ hình chính xác và đầy đủ các chi tiết cần thiết.
- Áp dụng các phương pháp giải đã học để tìm lời giải.
- Kiểm tra lại kết quả và trình bày lời giải một cách rõ ràng, logic.
19. Có những tài liệu học Toán 12 Hình nào hay?
- Sách giáo khoa Toán 12.
- Sách bài tập Toán 12.
- Các tài liệu, video hướng dẫn trên mạng.
20. Làm sao để học tốt môn Toán 12 Hình?
- Hãy dành thời gian để ôn tập các kiến thức cơ bản từ lớp 10, 11.
- Luyện tập thường xuyên bằng cách giải các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập.
- Tham khảo thêm các tài liệu, video hướng dẫn trên mạng.
- Tham gia các lớp học thêm nếu cần thiết.
21. Làm sao để giải các bài toán hình học một cách hiệu quả?
- Hiểu rõ các khái niệm, định lý, công thức liên quan đến bài toán.
- Vẽ hình chính xác và đầy đủ các chi tiết cần thiết.
- Áp dụng các phương pháp giải đã học để tìm lời giải.
- Kiểm tra lại kết quả và trình bày lời giải một cách rõ ràng, logic.
22. Có những tài liệu học Toán 12 Hình nào hay?
- Sách giáo khoa Toán 12.
- Sách bài tập Toán 12.
- Các tài liệu, video hướng dẫn trên mạng.
23. Làm sao để học tốt môn Toán 12 Hình?
- Hãy dành thời gian để ôn tập các kiến thức cơ bản từ lớp 10, 11.
- Luyện tập thường xuyên bằng cách giải các bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập.
- Tham khảo thêm các tài liệu, video hướng dẫn trên mạng.
- Tham gia các lớp học thêm nếu cần thiết.
24. Làm sao để giải các bài toán hình học một cách hiệu quả?
- Hiểu rõ các khái niệm, định lý, công thức liên quan đến bài toán.
- Vẽ hình chính xác và đầy đủ các chi tiết cần thiết.
- Áp dụng các phương pháp giải đã học để tìm lời giải.
- Kiểm tra lại kết quả và trình bày lời giải một cách rõ ràng, logic.
25. Có những tài liệu học Toán 12 Hình nào hay?
- Sách giáo khoa Toán 12.
- Sách bài tập Toán 12.
- Các tài liệu, video hướng dẫn trên mạng.