Bạn đang tìm kiếm lời giải cho các bài tập trong sách giáo khoa toán lớp 11 trang 28? Đừng lo lắng, bài viết này sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về hàm số bậc 3 và cách giải các bài tập liên quan. Chúng ta sẽ cùng khám phá những kiến thức cơ bản, các dạng bài tập phổ biến và cách giải hiệu quả nhất!
Hàm số bậc 3: Khái niệm và tính chất
Hàm số bậc 3 là một hàm số được biểu diễn dưới dạng:
$$y = ax^3 + bx^2 + cx + d$$
trong đó a, b, c, d là các số thực và $a ≠ 0$.
Hàm số bậc 3 có đồ thị là một đường cong gọi là đường cong bậc 3, có các đặc điểm sau:
- Đồ thị đi qua 4 điểm đặc biệt: $(0, d)$, $(1, a + b + c + d)$, $(-1, -a + b – c + d)$ và điểm uốn (nếu có).
- Sự thay đổi tính đơn điệu: Hàm số bậc 3 có thể tăng hoặc giảm trên các khoảng xác định tùy theo giá trị của hệ số a và vị trí điểm uốn.
- Điểm uốn: Điểm uốn là điểm mà đồ thị hàm số chuyển từ lõm xuống thành lõm lên hoặc ngược lại. Tọa độ điểm uốn được xác định bởi công thức:
$$x_u = -frac{b}{3a}$$
- Sự biến thiên: Hàm số bậc 3 có thể có cực đại, cực tiểu hoặc không có cực trị tùy thuộc vào hệ số a, b, c, d.
- Ứng dụng thực tiễn: Hàm số bậc 3 được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực như vật lý, hóa học, kinh tế…
Các dạng bài tập toán lớp 11 trang 28
Sách giáo khoa toán lớp 11 trang 28 thường bao gồm các dạng bài tập cơ bản về hàm số bậc 3 như:
1. Xác định hàm số bậc 3
- Bài toán: Cho đồ thị hàm số bậc 3, xác định công thức của hàm số đó.
- Cách giải: Sử dụng 4 điểm đặc biệt trên đồ thị và hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ để lập hệ phương trình 4 ẩn a, b, c, d và giải hệ phương trình đó.
2. Tìm điểm uốn của đồ thị hàm số bậc 3
- Bài toán: Cho hàm số bậc 3, tìm tọa độ điểm uốn của đồ thị hàm số.
- Cách giải: Tính đạo hàm bậc 2 của hàm số và giải phương trình $y” = 0$. Nghiệm của phương trình là hoành độ điểm uốn. Thay hoành độ điểm uốn vào hàm số để tìm tung độ.
3. Xác định tính đơn điệu của hàm số bậc 3
- Bài toán: Cho hàm số bậc 3, xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
- Cách giải: Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số và giải bất phương trình $y’ > 0$ (để tìm khoảng đồng biến) hoặc $y’ < 0$ (để tìm khoảng nghịch biến).
4. Tìm cực trị của hàm số bậc 3
- Bài toán: Cho hàm số bậc 3, tìm tọa độ các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
- Cách giải: Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số và giải phương trình $y’ = 0$. Nghiệm của phương trình là hoành độ các điểm cực trị. Thay hoành độ các điểm cực trị vào hàm số để tìm tung độ.
5. Vẽ đồ thị hàm số bậc 3
- Bài toán: Cho hàm số bậc 3, vẽ đồ thị hàm số.
- Cách giải: Tìm điểm uốn, các điểm cực trị, tính giá trị hàm số tại một số điểm đặc biệt và sử dụng các tính chất của đồ thị hàm số bậc 3 để vẽ đồ thị.
Ví dụ minh họa:
Bài toán: Cho hàm số $y = x^3 – 3x^2 + 2$.
- a) Tìm tọa độ điểm uốn của đồ thị hàm số.
Giải:
-
Tính đạo hàm bậc 2 của hàm số: $y” = 6x – 6$.
-
Giải phương trình $y” = 0$: $6x – 6 = 0$, ta được $x = 1$.
-
Thay $x = 1$ vào hàm số, ta được $y = 0$.
-
Vậy tọa độ điểm uốn của đồ thị hàm số là $(1, 0)$.
-
b) Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số.
Giải:
-
Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số: $y’ = 3x^2 – 6x$.
-
Giải bất phương trình $y’ > 0$: $3x^2 – 6x > 0$, ta được $x < 0$ hoặc $x > 2$.
-
Giải bất phương trình $y’ < 0$: $3x^2 – 6x < 0$, ta được $0 < x < 2$.
-
Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng $(-infty, 0)$ và $(2, +infty)$, nghịch biến trên khoảng $(0, 2)$.
-
c) Tìm cực trị của hàm số.
Giải:
- Giải phương trình $y’ = 0$: $3x^2 – 6x = 0$, ta được $x = 0$ hoặc $x = 2$.
- Thay $x = 0$ vào hàm số, ta được $y = 2$.
- Thay $x = 2$ vào hàm số, ta được $y = -2$.
- Vậy hàm số có cực đại tại điểm $(0, 2)$ và cực tiểu tại điểm $(2, -2)$.
Lời khuyên từ chuyên gia
Theo chuyên gia giáo dục toán học Nguyễn Văn A:
“Để giải bài tập về hàm số bậc 3 một cách hiệu quả, bạn cần nắm vững các kiến thức cơ bản về hàm số bậc 3, các công thức tính đạo hàm và phương pháp giải các bài toán liên quan. Ngoài ra, việc luyện tập thường xuyên và tham khảo thêm các tài liệu bổ trợ sẽ giúp bạn nâng cao kỹ năng giải toán và đạt được kết quả tốt hơn.”
Câu hỏi thường gặp
- Hàm số bậc 3 luôn có điểm uốn không?
Không, hàm số bậc 3 có thể không có điểm uốn nếu hệ số $b = 0$. - Làm cách nào để xác định hàm số bậc 3 khi biết đồ thị của nó?
Sử dụng 4 điểm đặc biệt trên đồ thị và hệ số góc của tiếp tuyến tại một điểm bất kỳ để lập hệ phương trình 4 ẩn a, b, c, d và giải hệ phương trình đó. - Làm sao để biết hàm số bậc 3 có cực đại, cực tiểu hay không?
Tìm nghiệm của phương trình $y’ = 0$. Nếu nghiệm là nghiệm kép thì hàm số không có cực trị. Nếu nghiệm là nghiệm đơn thì hàm số có cực trị.
Gợi ý các bài viết liên quan:
- [Bài viết 1]: [Link bài viết] – Hướng dẫn giải bài tập về đồ thị hàm số bậc 3
- [Bài viết 2]: [Link bài viết] – Ứng dụng của hàm số bậc 3 trong thực tiễn
- [Bài viết 3]: [Link bài viết] – Các dạng bài tập thường gặp về hàm số bậc 3
Kêu gọi hành động:
Nếu bạn cần hỗ trợ thêm về Giải Bài Tập Toán Lớp 11 Trang 28 hoặc bất kỳ chủ đề nào khác, đừng ngần ngại liên hệ với chúng tôi. Đội ngũ chuyên gia của KQBD PUB luôn sẵn sàng hỗ trợ bạn 24/7!
Số Điện Thoại: 0372999996
Email: [email protected]
Địa chỉ: 236 Cầu Giấy, Hà Nội.