Bài 4 trang 10 SGK Toán 12 là một bài toán quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về giới hạn của hàm số. Bài viết này sẽ hướng dẫn bạn cách giải bài toán một cách chi tiết, minh họa bằng ví dụ và cung cấp bài tập luyện tập để bạn tự tin hơn khi học môn Toán 12.
Nội dung bài toán:
Cho hàm số $f(x) = frac{x^2 + 2x}{x^2 – 4}$
a) Tìm tập xác định của hàm số.
b) Tìm giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới $2$ và $x$ tiến tới $-2$.
Cách giải:
a) Tìm tập xác định của hàm số:
Hàm số $f(x)$ xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0. Do đó, ta cần giải phương trình:
$x^2 – 4 = 0$
$(x-2)(x+2) = 0$
$x = 2$ hoặc $x = -2$
Vậy tập xác định của hàm số là $D = R setminus {-2; 2}$.
b) Tìm giới hạn của hàm số:
1. Giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới $2$:
$lim{x to 2} f(x) = lim{x to 2} frac{x^2 + 2x}{x^2 – 4}$
Ta thấy, khi $x$ tiến tới $2$, cả tử số và mẫu số đều tiến tới 0. Do đó, ta cần biến đổi để loại bỏ dạng vô định 0/0.
Ta có thể phân tích tử số thành nhân tử:
$x^2 + 2x = x(x+2)$
Và mẫu số cũng có thể phân tích thành nhân tử:
$x^2 – 4 = (x-2)(x+2)$
Do đó:
$lim{x to 2} frac{x^2 + 2x}{x^2 – 4} = lim{x to 2} frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}$
$= lim_{x to 2} frac{x}{x-2}$
$= frac{2}{2-2}$
$= frac{2}{0}$
$= infty$
Vậy, giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới $2$ là vô cực.
2. Giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới $-2$:
$lim{x to -2} f(x) = lim{x to -2} frac{x^2 + 2x}{x^2 – 4}$
Tương tự như trên, ta phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử:
$lim{x to -2} frac{x^2 + 2x}{x^2 – 4} = lim{x to -2} frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)}$
$= lim_{x to -2} frac{x}{x-2}$
$= frac{-2}{-2-2}$
$= frac{-2}{-4}$
$= frac{1}{2}$
Vậy, giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới $-2$ là $frac{1}{2}$.
Bài tập luyện tập:
-
Cho hàm số $g(x) = frac{x^2 – 1}{x-1}$. Tìm tập xác định của hàm số và giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới $1$.
-
Cho hàm số $h(x) = frac{x^3 + 8}{x^2 – 4}$. Tìm tập xác định của hàm số và giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới $-2$ và $x$ tiến tới $2$.
Lưu ý:
- Khi tìm giới hạn của hàm số, cần chú ý loại bỏ dạng vô định 0/0 hoặc ∞/∞.
- Sử dụng phép phân tích đa thức thành nhân tử để loại bỏ dạng vô định.
- Tìm giới hạn trái và giới hạn phải để xác định xem giới hạn có tồn tại hay không.
Lời khuyên từ chuyên gia:
Thầy Nguyễn Văn A, giáo viên dạy Toán 12: “Khi giải bài toán về giới hạn của hàm số, các em cần nắm vững định nghĩa và các tính chất của giới hạn. Ngoài ra, các em nên sử dụng các phương pháp biến đổi để loại bỏ dạng vô định. Tập trung vào việc tìm hiểu và áp dụng các phương pháp giải toán hiệu quả sẽ giúp các em đạt được kết quả tốt trong học tập.”
Kết luận:
Bài 4 trang 10 SGK Toán 12 là một bài toán cơ bản giúp bạn củng cố kiến thức về giới hạn của hàm số. Bằng cách áp dụng các phương pháp giải toán hiệu quả, bạn có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự. Hãy luyện tập thường xuyên để nâng cao kỹ năng và đạt được kết quả học tập tốt nhất.
FAQ:
- Làm sao để biết giới hạn của hàm số tồn tại?
- Giới hạn của hàm số tồn tại khi và chỉ khi giới hạn trái bằng giới hạn phải.
- Dạng vô định là gì?
- Dạng vô định là một dạng biểu thức không xác định được giá trị, ví dụ như 0/0, ∞/∞, ∞ – ∞, 0 * ∞.
- Làm sao để loại bỏ dạng vô định?
- Sử dụng phép phân tích đa thức thành nhân tử, chia cả tử số và mẫu số cho một biểu thức chung.
- Có những loại giới hạn nào?
- Giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, giới hạn trái, giới hạn phải.
- Tại sao cần tìm tập xác định của hàm số?
- Tập xác định là tập hợp các giá trị của biến số $x$ mà hàm số có nghĩa. Nắm rõ tập xác định giúp ta tránh trường hợp tính toán giới hạn tại điểm mà hàm số không xác định.
Gợi ý các câu hỏi khác:
- Giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới vô cực là gì?
- Cách tìm giới hạn của hàm số khi $x$ tiến tới một điểm bất kỳ?
- Tính chất của giới hạn là gì?
Kêu gọi hành động: Khi cần hỗ trợ hãy liên hệ Số Điện Thoại: 0372999996, Email: [email protected] Hoặc đến địa chỉ: 236 Cầu Giấy, Hà Nội. Chúng tôi có đội ngũ chăm sóc khách hàng 24/7.