Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình Tiếp Xúc

Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình Tiếp xúc là một phương pháp hữu ích để giải quyết các bài toán liên quan đến tiếp tuyến của đồ thị hàm số. Phương pháp này kết hợp kiến thức về đạo hàm, phương trình tiếp tuyến và hệ phương trình để tìm ra lời giải cho bài toán.

Hiểu Rõ Phương Trình Tiếp Tuyến

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm có hoành độ x = x₀ có dạng:

y = f'(x₀)(x – x₀) + f(x₀)

Trong đó:

• f'(x₀) là đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm x₀, đại diện cho hệ số góc của tiếp tuyến.
• (x₀, f(x₀)) là tọa độ tiếp điểm.

Các Bước Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình Tiếp Xúc

Để giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình tiếp xúc, ta thực hiện các bước sau:

1. Xác định yêu cầu của bài toán: Đọc kỹ đề bài, xác định rõ yêu cầu cần tìm, chẳng hạn như tìm tọa độ tiếp điểm, phương trình tiếp tuyến, hay hệ số góc của tiếp tuyến.

2. Gọi ẩn và đặt điều kiện: Gọi ẩn là các đại lượng cần tìm, ví dụ như tọa độ tiếp điểm (x₀, y₀) hoặc hệ số góc k. Đặt điều kiện cho các ẩn phù hợp với yêu cầu bài toán.

3. Lập hệ phương trình:

   • Sử dụng phương trình tiếp tuyến y = f'(x₀)(x – x₀) + f(x₀) và thay tọa độ tiếp điểm (x₀, y₀) hoặc hệ số góc k (nếu có).
   • Kết hợp các dữ kiện khác từ đề bài, ví dụ như tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước, song song hoặc vuông góc với một đường thẳng nào đó.
   • Tạo thành một hệ phương trình với số ẩn bằng số phương trình.

4. Giải hệ phương trình: Sử dụng các phương pháp giải hệ phương trình đã học để tìm ra giá trị của các ẩn.

5. Kiểm tra và kết luận: Sau khi tìm được nghiệm, kiểm tra lại xem nghiệm đó có thỏa mãn điều kiện bài toán hay không. Cuối cùng, kết luận và trình bày rõ ràng đáp số.

Ví Dụ Minh Họa

Bài toán: Cho hàm số y = x² – 2x + 1. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = 2x + 3.

Lời giải:

1. Yêu cầu: Tìm phương trình tiếp tuyến.

2. Gọi ẩn: Gọi (x₀, y₀) là tọa độ tiếp điểm.

3. Lập hệ phương trình:

   • Phương trình tiếp tuyến tại điểm (x₀, y₀) là: y = (2x₀ – 2)(x – x₀) + (x₀² – 2x₀ + 1).

   • Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x + 3 nên hệ số góc của tiếp tuyến bằng hệ số góc của đường thẳng, tức là 2x₀ – 2 = 2.

   • Ta có hệ phương trình:

     2x<sub>0</sub> - 2 = 2
     y<sub>0</sub> = (2x<sub>0</sub> - 2)(x<sub>0</sub> - x<sub>0</sub>) + (x<sub>0</sub><sup>2</sup> - 2x<sub>0</sub> + 1)

4. Giải hệ phương trình:

   • Từ phương trình (1), ta có x₀ = 2.
   • Thay x₀ = 2 vào phương trình (2), ta được y₀ = 1.

5. Kết luận:

   • Vậy tọa độ tiếp điểm là (2, 1).
   • Phương trình tiếp tuyến là: y = 2(x – 2) + 1 hay y = 2x – 3.

[image-1|giai-bai-toan-he-phuong-trinh-tiep-xuc-do-thi|Giải Bài Toán Hệ Phương Trình Tiếp Xúc Đồ Thị|A graph of a parabola and a straight line tangent to it. The parabola represents a quadratic function, and the line represents the tangent line at a specific point on the parabola.]

Mẹo Giải Bài Toán Bằng Cách Lập Hệ Phương Trình Tiếp Xúc

• Nắm vững công thức tính đạo hàm và phương trình tiếp tuyến.
• Phân tích kỹ đề bài, xác định rõ các dữ kiện và mối liên hệ giữa chúng.
• Chọn cách gọi ẩn và lập hệ phương trình phù hợp để đơn giản hóa bài toán.
• Luyện tập giải nhiều bài tập để nâng cao kỹ năng giải toán.

Kết Luận

Phương pháp giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình tiếp xúc là một công cụ hữu hiệu để giải quyết các bài toán liên quan đến tiếp tuyến. Bằng cách nắm vững kiến thức cơ bản và luyện tập thường xuyên, bạn có thể tự tin giải quyết các bài toán này một cách hiệu quả.

Cần hỗ trợ?

Liên hệ ngay:

• Số Điện Thoại: 0372999996
• Email: [email protected]
• Địa chỉ: 236 Cầu Giấy, Hà Nội.