Giải Bất Phương Trình Phân Số là một dạng bài tập quan trọng trong chương trình toán học phổ thông, thường gặp trong các kỳ thi quan trọng như thi học kỳ, thi tốt nghiệp THPT, và đặc biệt là kỳ thi đại học.
Bất Phương Trình Phân Số Là Gì?
Bất phương trình phân số là bất phương trình có chứa biểu thức phân số với ẩn số ở mẫu. Ví dụ:
- (x + 1)/(x – 2) > 0
- (2x – 3)/(x^2 + 1) ≤ 1
Các Bước Giải Bất Phương Trình Phân Số
Để giải bất phương trình phân số, bạn có thể áp dụng các bước sau:
- Tìm điều kiện xác định: Xác định giá trị của ẩn số làm cho mẫu số khác 0.
- Chuyển vế: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế, vế còn lại bằng 0.
- Quy đồng mẫu số: Quy đồng mẫu số cho các hạng tử, chú ý đến dấu của biểu thức.
- Khử mẫu số: Sau khi quy đồng, ta có thể khử mẫu số bằng cách nhân cả hai vế của bất phương trình với mẫu số chung (lưu ý phải đảm bảo mẫu số chung luôn dương hoặc luôn âm).
- Giải bất phương trình bậc nhất hoặc bậc hai: Sau khi khử mẫu số, ta thu được một bất phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. Giải bất phương trình này bằng cách lập bảng xét dấu hoặc sử dụng công thức nghiệm.
- Kết luận: Kết hợp nghiệm tìm được ở bước 5 với điều kiện xác định ở bước 1 để đưa ra tập nghiệm của bất phương trình ban đầu.
Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Giải bất phương trình (x + 1)/(x – 2) > 0
Bước 1: Điều kiện xác định: x ≠ 2
Bước 2: Chuyển vế: (x + 1)/(x – 2) > 0
Bước 3: Bất phương trình đã được chuyển về dạng f(x)/g(x) > 0
Bước 4: Lập bảng xét dấu:
| x | x < -1 | -1 < x < 2 | x > 2 |
|---|---|---|---|
| x + 1 | – | + | + |
| x – 2 | – | – | + |
| f(x)/g(x) | + | – | + |
Bước 5: Từ bảng xét dấu, ta có f(x)/g(x) > 0 khi x < -1 hoặc x > 2.
Bước 6: Kết hợp với điều kiện xác định, ta có tập nghiệm của bất phương trình là S = (-∞, -1) U (2, +∞).
Ví dụ 2: Giải bất phương trình (2x – 3)/(x^2 + 1) ≤ 1
Bước 1: Điều kiện xác định: x ∈ R (vì x^2 + 1 > 0 với mọi x)
Bước 2: Chuyển vế: (2x – 3)/(x^2 + 1) – 1 ≤ 0
Bước 3: Quy đồng mẫu số: (2x – 3 – x^2 – 1)/(x^2 + 1) ≤ 0
Bước 4: Rút gọn: (-x^2 + 2x – 4)/(x^2 + 1) ≤ 0
Bước 5: Ta thấy -x^2 + 2x – 4 < 0 với mọi x, và x^2 + 1 > 0 với mọi x. Do đó, bất phương trình luôn đúng với mọi x.
Bước 6: Kết hợp với điều kiện xác định, ta có tập nghiệm của bất phương trình là S = R.
Lưu ý khi giải bất phương trình phân số
- Luôn luôn kiểm tra điều kiện xác định trước khi giải bất phương trình.
- Chú ý đến dấu của biểu thức khi quy đồng mẫu số.
- Khi khử mẫu số, cần đảm bảo mẫu số chung luôn dương hoặc luôn âm.
- Luôn kết hợp nghiệm tìm được với điều kiện xác định để đưa ra tập nghiệm cuối cùng.
Một số dạng bài tập giải bất phương trình phân số thường gặp
- Dạng 1: Bất phương trình bậc nhất/bậc hai chứa tham số.
- Dạng 2: Bất phương trình chứa căn thức.
- Dạng 3: Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
- Dạng 4: Hệ bất phương trình chứa phân số.
Mẹo giải nhanh một số dạng bất phương trình phân số
- Dạng (ax + b)/(cx + d) > 0 (hoặc < 0, ≥ 0, ≤ 0): Lập bảng xét dấu của tử số và mẫu số.
- Dạng f(x)/g(x) > 0 (hoặc < 0, ≥ 0, ≤ 0) với f(x), g(x) là các tam thức bậc hai: Phân tích tử số và mẫu số thành nhân tử, sau đó lập bảng xét dấu.
Kết luận
Giải bất phương trình phân số đòi hỏi sự cẩn thận và chính xác. Hy vọng bài viết đã cung cấp cho bạn những kiến thức bổ ích về cách giải bất phương trình phân số. Chúc các bạn học tốt!